Twierdzenie Wilsona jest jednym z klasycznych wyników w teorii liczb, które odnosi się do liczb pierwszych. Jest to twierdzenie matematyczne sformułowane przez brytyjskiego matematyka Johna Wilsona w XVIII wieku. Mówi ono o warunkach, które muszą być spełnione, aby liczba była uważana za liczbę pierwszą.
Historia
Twierdzenie Wilsona zostało po raz pierwszy sformułowane przez Johna Wilsona w 1770 roku. Wilson podał warunek konieczny i wystarczający dla tego, aby liczba naturalna była liczbą pierwszą. Wcześniej, w XVIII wieku, Ewangelista Torricelli próbował dowieść tego twierdzenia, ale jego praca nie została ukończona. To Wilson pierwszy udowodnił twierdzenie.
Sformułowanie twierdzenia
Twarzynie Wilsona brzmi: „Liczba naturalna ( p ) jest liczbą pierwszą wtedy i tylko wtedy, gdy ((p-1)! equiv -1 pmod{p}).” Innymi słowy, jeśli reszta z dzielenia ( (p-1)! ) przez ( p ) wynosi ( -1 ), to ( p ) jest liczbą pierwszą.
Dowód twierdzenia
Dowód Twierdzenia Wilsona jest oparty na zastosowaniu kongruencji modularnych i własności grupy multiplikatywnej modulo ( p ). Dowód jest konstrukcyjny, jednak nie jest zbyt praktyczny w obliczeniach dla dużych liczb pierwszych ze względu na złożoność obliczeniową.
Zastosowania
Twierdzenie Wilsona ma zastosowanie w różnych obszarach matematyki, takich jak kryptografia, teoria liczb, teoria grup, i teoria kombinatoryczna. Jest używane w tworzeniu algorytmów kryptograficznych oraz w rozwoju wielu metod badawczych w matematyce dyskretnej.
Twierdzenie wilsona a liczby pseudo-pierwsze
Twierdzenie Wilsona jest czasami używane do sprawdzania czy liczba jest liczbą pierwszą. Jednak istnieją liczby, które spełniają warunek Wilsona, ale nie są liczbami pierwszymi. Takie liczby nazywane są liczbami pseudo-pierwszymi.
Często zadawane pytania (faqs)
Czym jest twierdzenie wilsona?
Twierdzenie Wilsona to matematyczne twierdzenie, które mówi o warunkach, które muszą być spełnione, aby liczba była uważana za liczbę pierwszą.
Kiedy zostało sformułowane twierdzenie wilsona?
Twierdzenie Wilsona zostało sformułowane po raz pierwszy przez Johna Wilsona w 1770 roku.
Jakie są zastosowania twierdzenia wilsona?
Twierdzenie Wilsona ma zastosowanie w kryptografii, teorii liczb, teorii grup oraz teorii kombinatorycznej. Jest używane w algorytmach kryptograficznych i w badaniach matematycznych.
Czy twierdzenie wilsona działa dla wszystkich liczb pierwszych?
Tak, Twierdzenie Wilsona działa dla wszystkich liczb pierwszych, ale istnieją liczby, które spełniają warunek Wilsona, ale nie są liczbami pierwszymi, nazywane liczbami pseudo-pierwszymi.
Zobacz także:
